Đặc trưng Euler của bất kỳ đa tạp đóng chiều lẻ là 0.[2] Trường hợp cho các ví dụ định hướng là hệ quả của Tính đối ngẫu Poincaré. tính chất  này được áp dụng nói chung cho bất kỳ Không gian Compắc được phân tầng tất cả các lớp có số chiều lẻ. Hơn nữa, đặc trưng Euler thường được dùng tốt đối với nhiều phép tính cơ bản trên không gian topo, như sau.

Bất biến đồng luân

Bởi vì tính tương đồng là một bất biến topo (trong thực tế, một bất biến đồng luân — hai không gian tôpô đó là tương đương đồng luân có các nhóm tương đồng đẳng cấu), nên đó là đặc trưng Euler.

Ví dụ, bất kỳ đa diện lồi đồng phôi với quả cầu trong không gian ba chiều, do đó bề mặt của nó là đồng phôi (do đó tương đương đồng luân) để các quả cầu hai chiều, có Đặc trưng Euler là 2. Điều này giải thích lý do tại sao các khối đa diện lồi có đặc trưng Euler là 2.

Nguyên tắc hợp và loại trừ

Nếu M và N là 2 không gian topo bất kì, Ta có đặc trưng Euler của hội rời là tổng của các đặc trưng Euler của chúng, do đó tính tương đồng là cộng dưới 2 hội rời:

χ ( M ⊔ N ) = χ ( M ) + χ ( N ) . {\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}

Nói một cách tổng quát hơn, nếu M và N là không gian con của X, thì ta có hội và giao của chúng. Trong một vài trường hợp, Đặc trưng Euler tuân theo một nguyên tắc hợp và loại trừ:

χ ( M ∪ N ) = χ ( M ) + χ ( N ) − χ ( M ∩ N ) . {\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}

Điều này đúng trong các trường hợp dưới đây:

• Nếu M và N là một cặp loại trừ. Đặc biệt, nếu phần trong của M và N ở trong hội vẫn phủ các hội.[3]
• Nếu X là một không gian compắc địa phương, và nó dùng đặc trưng Euler với những hỗ trợ compắc, không có giả thuyết nào trên M hoặc N là cần thiết.
• Nếu X là một không gian phân tầng tất cả các tầng của X đều là không gian, Nguyên tắc hợp và loại trừ dùng nếu M và N là hội của các phân tầng. Điều này áp dung trong trường hợp cụ thể nếu M và N là 1 dạng đại số phức.[4]

Nói chung, nguyên tắc hợp và loại trừ là sai. Một phản ví dụ được đưa ra bằng cách cho X là đường thẳng thực, M a tập con bao gồm 1 điểm và N là phần bù của M.

Tính chất tích

Như vậy, đặc trưng Euler của bất kỳ không gian tích M × N là

χ ( M × N ) = χ ( M ) ⋅ χ ( N ) . {\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}

Những tính chất cộng và nhân được cảm sinh bởi lực lượngcủa các tập hợp. Bằng cách này, đặc trưng Euler co thể được xem như 1 sự khái quát hóa (của) lực lượng; tham khảo .

Không gian phủ

Tương tự, Cho một không gian phủ có k-phủ M ~ → M , {\displaystyle {\tilde {M}}\to M,} có

χ ( M ~ ) = k ⋅ χ ( M ) . {\displaystyle \chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).}

Tổng quát hơn, cho một không gian phủ bị rẽ nhánh, đặc trưng Euler của phủ có thể được tính toán như trên, với một hệ số hiệu chính cho những điểm rẽ nhánh, nó sinh ra công thức Riemann–Hurwitz.

Tính chất sự phân thớ

(Bản mẫu:Fibration property)

Tính chất tích dùng rộng hơn, cho sự phân thớ với điều kiện nhất định.

Nếu p : E → B {\displaystyle p\colon E\to B} là một sự phân thớ (fibration) với sợi(fiber) F, với cơ sở B liên thông đường, và sự phân thớ là định hướng trong một trường K, ta có các đặc trưng Euler với các hệ số trong trường K đáp ứng các tính chất tích:[5]

χ ( E ) = χ ( F ) ⋅ χ ( B ) . {\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}

Điều này bao gồm những không gian tích và những không gian phủ như các trường hợp đặc biệt, và có thể được chứng minh bằng dãy phổ Serre trên sự tương hợp (của) một sự phân thớ.

Đối với các chùm sợi(fiber bundles), tnó co thể được hiểu dưới dạng của một ánh xạ truyền τ : H ∗ ( B ) → H ∗ ( E ) {\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)} – chú ý rằng đây là 1 đường nâng lên và đi "the wrong way" – thành phần của nó với các phép chiếu p ∗ : H ∗ ( E ) → H ∗ ( B ) {\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)} là phép nhân bởi các lớp Euler của sợi:[6]

p ∗ ∘ τ = χ ( F ) ⋅ 1. {\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}